linear equations
Row picture & Column pictureRow PictureColumn PictureElimination with matrices消元法 Method of Elimination回代 Back-Substitution
对于线性方程组，可以从两个视角来看待方程解的含义：
- row picture：超平面的相交，是从每个方程的角度考虑求解问题，是更微观的维度；
- col picture：列向量的线性组合，是从组合向量的维度考虑求解问题，是更宏观的维度；
Row picture & Column picture
线性代数的基本问题就是解n元一次方程组。例如：二元一次方程组：
写成矩阵形式就是:
简记为，其中称为系数矩阵（coefficient matrix）
Row Picture
行图像遵从解析几何的描述，每个方程在平面上的图像为一条直线。找到符合方程的两个数组，就可以确定出x-y平面上的两个点，连接两点可以画出该方程所代表的直线。两直线交点即为方程组的解x=1,y=2。
Column Picture
在列图像中，将系数矩阵写成列向量的形式，则求解原方程变为寻找列向量的线性组合（linear combination）来构成向量b。
向量线性组合是贯穿本课程的重要概念。对于给定的向量c和d以及标量x和y，将xc+yd称之为c 和d的一个线性组合。见 Introduction to Vectors
从几何上讲，是寻找满足如下要求的x和y，使得两者分别数乘对应的列向量之后相加得到向量.
可以看到当蓝色的向量乘以1与橙色的向量乘以2后做加法（首尾相接）就可以得到绿色的向量b，由此可得到方程的解x=1,y=2。
将以上讨论扩展到三元，对于如下方程组：
有矩阵形式
行图像：先用两个面相交于一条直线画了一个图，然后让这条直线和第三个平面相交画了第二个图
列图像：
Elimination with matrices
先介绍矩阵消元得到上三角矩阵 U，然后再介绍回代求解。即高斯消元包括两大步骤：
- 前向消元
- 反向回代
消元法 Method of Elimination
消元法是计算机软件求解线形方程组所用的最常见的方法。
任何情况下，只要是矩阵A可逆，均可以通过消元法求得Ax=b的解。
例，对于如下线性方程组
表示为矩阵形式 Ax=b，有：
其中：
高斯消元法（Gauss elimination）就是通过对方程组中的某两个方程进行适当的数乘和加（jian）和（fa），以达到将某一未知数系数变为零，从而削减未知数个数的目的。
消元针对的对象是系数矩阵A，将矩阵A左上角的1称之为“主元一”（the first pivot），第一步要通过消元将第一列中除了主元之外的数字均变化为0。操作方法就是用之后的每一行减去第一行的适当倍数，此例中第二行应减去第一行的3倍。之后应对第三行做类似操作，本例中三行第一列数字已经为0，故不用进行操作。
处在第二行第二列的主元二为2，因此用第三行减去第二行的两倍进行消元，得到第三个主元为5。
矩阵A为可逆矩阵，消元结束后得到上三角阵U（Upper triangular matrix），其左侧下半部分的元素均为0，而主元1,2,5分列在U 的对角线上
注：主元不能为0，如果恰好消元至某行，0 出现在了主元的位置上，应当通过与下方一行进行“行交换”使得非零数字出现在主元位置上。如果0出现在了主元位置上，并且下方没有对等位置为非0数字的行，则消元终止，并证明矩阵A为不可逆矩阵，且线性方程组没有唯一解。
回代 Back-Substitution
做方程的高斯消元时，需要对等式右侧的b做同样的乘法和加减法。手工计算时比较有效率的方法是应用“增广矩阵”（augmented matrix），将b插入矩阵A之后形成最后一列，在消元过程中带着b
一起操作。
在软件计算中，是先算完系数矩阵再处理b的
对于上述方程组，有增广矩阵。对增广矩阵 进行消元，如下：
此时我们将原方程Ax=b转化为了新的方程Ux=c，其中
回代求解：从最后一行得到z=-2，依次回代可以得到 y=1,和x=2。