877. 石子游戏

Difficulty
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Tags
动态规划
URL
https://leetcode-cn.com/problems/stone-game/
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Alice 和 Bob 用几堆石子在做游戏。一共有偶数堆石子，排成一行；每堆都有 正 整数颗石子，数目为 piles[i] 。
游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的 总数 是 奇数 ，所以没有平局。
Alice 和 Bob 轮流进行，Alice 先开始 。 每回合，玩家从行的 开始 或 结束 处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中 石子最多 的玩家 获胜 。
假设 Alice 和 Bob 都发挥出最佳水平，当 Alice 赢得比赛时返回 true ，当 Bob 赢得比赛时返回 false 。
示例 1：
输入：piles = [5,3,4,5]
输出：true
解释：
Alice 先开始，只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。
假设他取了前 5 颗，这一行就变成了 [3,4,5] 。
如果 Bob 拿走前 3 颗，那么剩下的是 [4,5]，Alice 拿走后 5 颗赢得 10 分。
如果 Bob 拿走后 5 颗，那么剩下的是 [3,4]，Alice 拿走后 4 颗赢得 9 分。
这表明，取前 5 颗石子对 Alice 来说是一个胜利的举动，所以返回 true 。
示例 2：
输入：piles = [3,7,2,3]
输出：true
提示：
  • 2 <= piles.length <= 500
  • piles.length 是 偶数
  • 1 <= piles[i] <= 500
  • sum(piles[i]) 是 奇数
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法1 动态规划

思路
每一步有多种选择，每种选择都有其子问题。所以直接上动态规划.。
状态定义：dp[i][j] ：从piles[i:j+1] 中拿石头，先手比后手多拿的个数。因为Alies是先手，所以最后的答案就是 dp[0][len(piles)-1] > 0
状态转移：每一步都可以从piles[i:j+1] 左边或者右边选取。先手还是后手是相对的概念。当前步为先手，那当前步的对手在上一轮中就是对手。我当前作为先手想要拿更多的，那上一轮先手就得拿最少的。
  • dp[i][j] = (piles[i] - dp[i+1][j], piles[j] - dp[i][j-1])
初始化：
  • 当piles只剩一个石头时，即dp[i][j] 中 j = i, 那么当前先手只能拿这个石头，不存在选择问题，所以可以直接 dp[i][i] = piles[i]
  • 当piles 只剩两个石头时，即dp[i][j] 中 j = i + 1, 那么先手选择 数值较大的。即dp[i][i+1] = max(piles[i]-piles[i+1], piles[i+1]-piles[i])
  • 第二个初始化是否可以合并到 状态转移中呢？考虑dp[i][i+1] 的情况，按照状态转移，dp[i][i+1] = max(piles[i]-dp[i+1][i+1], piles[i+1]-dp[i][i]) 是恰好等于 max(piles[i]-piles[i+1], piles[i+1]-piles[i]) ，所以该初始化可以合并到状态转移中。
 
题解
class Solution:
    def stoneGame(self, piles: List[int]) -> bool:
        # dp[i][j] 表示在 piles[i:j+1] 中拿石头，先手比后手多拿的个数
        dp = [[0] * len(piles) for _ in piles]

        # 初始化
        for i in range(0, len(dp)):
            dp[i][i] = piles[i]

        for i in range(len(dp), -1, -1):
            for j in range(i+1, len(dp)):
                # 选择左边的 or 选择右边的
                dp[i][j] = max(piles[i] - dp[i+1][j], 
                                piles[j] - dp[i][j-1])

        return dp[0][-1] > 0