123. 买卖股票的最佳时机 III

Difficulty
Hard
Tags
动态规划
URL
https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/
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给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0
提示：
  • 1 <= prices.length <= 105
  • 0 <= prices[i] <= 105

法1 动态规划

思路
典型的时间序列类型题目，按照套路定义状态如下：
# dp[i][0] 第一次持有股票最大收益（可以是当天买，也可以是之前买入的）
# dp[i][1] 第一次卖出股票最大收益（可以是当天卖，也可以是之前卖掉的）
# dp[i][2] 第二次持有股票最大收益（可以是当天买，也可以是之前买入的）
# dp[i][3] 第二次卖出股票最大收益（可以是当天卖，也可以是之前卖掉的）
状态转移图如下：
notion imagenotion image
题解
class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        dp = [[0] * 4 for _ in range(len(prices))]
        # 状态定义：
        # dp[i][0] 第一次持有股票最大收益（可以是当天买，也可以是之前买入的）
        # dp[i][1] 第一次卖出股票最大收益（可以是当天卖，也可以是之前卖掉的）
        # dp[i][2] 第二次持有股票最大收益
        # dp[i][3] 第二次卖出股票最大收益（可以是当天卖，也可以是之前卖掉的）
        dp[0][0] = 0 - prices[0]
        dp[0][2] = 0 - prices[0]
        for i in range(1, len(dp)):
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], 0-prices[i])
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]+prices[i])
            dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]-prices[i])
            dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]+prices[i])
        print(dp)
        return max(dp[-1])
注意，每一种只要只和前一种状态有关.
可进行如下优化，解释参考https://mp.weixin.qq.com/s/CWGKl0Ctfc6wStcvBJsD3Q
💡
分析两次股票交易总共 5中状态 。0，观望不买，1第一次买入，2第一次卖出，3第二次买入，4第二次卖出 。假设状态为k，所以 K的取值为[0,4]。n为第几天 所以得出公式最大利润为 公式F(n,k) 所以 得出各种状态下最大利润的公式如下： fstBuy: 在该天第一次买入股票可获得的最大收益 max（-p，F（n-1，1）） 当天股价的负数 和 之前每天的第一次买入 利润对比取最大值。 （第一次买入最大利润应该为负数，即第一次买入股价的最小值） fstSell: 在该天第一次卖出股票可获得的最大收益 max（F（n-1，2）,F（n-1，1）+ P）当天股价的正数 + 之前第一次买入的最大利润 和 之前每天的第一次卖出利润 对比取最大值。（第一次卖出最大利润应该为正数，即第一次卖出的最大值） secBuy: 在该天第二次买入股票可获得的最大收益 max（F（n-1，3）,F（n-1，2）- P） 当天股价的负数 + 之前第一次卖出的最大利润 和 之前每天的第二次买入利润 对比取最大值。 secSell: 在该天第二次卖出股票可获得的最大收益 max（F（n-1，4）,F（n-1，3）+ P）当天股价的正数 + 之前第二次买入的最大利润 和 之前每天的第二次卖出利润 对比取最大值。 分别对四个变量进行相应的更新, 最后secSell就是最大
class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        firstBuy, secondBuy = -prices[0], -prices[0]
        firstSell, secondSell = 0, 0

        for price in prices:
            firstBuy = max(firstBuy, -price)
            firstSell = max(firstSell, firstBuy+price)

            secondBuy = max(secondBuy, firstSell-price)
            secondSell = max(secondSell, secondBuy+price)

        return secondSell