Vector spaces and subspaces

定义Vector Space推论SubSpaceColumnSpaceNullSpace求解 ：主变量，特解特解 Special solutions从行最简型求直接得到特解求解Ax=b：可解性与结构可解的条件通解 Complete solutionCase1：A为方阵且 r=m=nCase2: r=nCase3: r=m总结Independent basis and DimensionIndependentBasisDimension4个子空间的维度行空间列空间零空间左零空间总结总结
先定义了 , 回顾了向量的线性组合：向量相加和向量数乘。然后定义了向量空间：一个集合 + 2种运算 + 8条定理。然后定义了子空间。而后，又分别定义了列空间、零空间。

定义

对R^n做如下定义
回顾 向量的线性组合：
  • 向量相加
  • 向量数乘
上述两种运算均满足封闭性，即
注：满足封闭性是指 中的元素做线性组合之后依旧属于

Vector Space

本小节对向量空间进行了形式化定义，具体定义的内容包括 一个集合 V、2个基本运算、8条法则。注：该向量空间里面的元素：向量 是一个抽象的向量，虽然后续章节主要以 R^n来作为向量，但需要知道这里的向量适用于其他任意向量空间的元素。
集合 V：a set of vectors;
两个运算：
  1. vector addition:
  1. scaler multiplication:
两个运算均满足封闭性，其中 c 为 数域 F 中的标量（常见的数域有 有理数集Q、实数集R、复数集C）：
满足以下八条法则，其中 v,w为向量空间的元素，c为数域中某元素：
  1. exist unique “zero vector” such that , for all
  1. for each , there is a unique vector such that
  1. exist a scalar ,
  1. for all scalar ， 注意这里等号左边 中的 是数域中定义的 ，等号右边是 是上述定义在向量空间的
💡
定义了元素加法 和数乘两种运算且满足上述8条 rules 的集合称为向量空间。或者说“向量空间”是对于线性运算封闭的向量集合
以下给出一些向量空间的例子，可以自行对上述八条rules进行验证
  1. ， 该向量空间只有一个元素

推论

SubSpace

定义：a subset of vector space is a subspace if ifself is a vector space.
就是说：向量空间 V的子集 W 本身如果也是一个向量空间（定义了两种运算且满足八条法则），那么称W为V的子空间。
事实上，子集W只需要满足 两则运算的封闭性 即可说是V的子空间，而没必要去检验是否满足拿八条定理，因为W是V的子集。why? 因为W是V的子集，只要满足两则运算的封闭性，那么自然会满足八条法则。
可以对八条定理一一检验，这里只检验第三条和第四条：
  1. 每个子空间都有 向量。
      2. proof: . 因为满足数乘封闭性，所以必然满足！
例：
  1. 是否为R^2的子空间？
      2. No!!! Since
  1. , U是否为M的子空间？
      2. Yes!!!
💡
“子空间”为包含于向量空间内的一个向量空间。它是原向量空间的一个子集，而且本身也满足向量空间的要求。但是“子空间”和“子集”的概念有区别，所有元素都在原空间之内就可称之为子集，但是要满足对线性运算封闭的子集才能成为子空间。

ColumnSpace

定义：The column space of a matrix consists all linear combination of columns.
即矩阵A所有列向量的线性组合构成的空间。
例：，则其列空间 ：
对于线性方程组
The system is solvable if and only if ，即只有b在矩阵A的列空间中才有解。
例：求解下列矩阵的列空间
      2. Ans :
      2. Ans：
      2. Ans：
可见，上述矩阵 I，A，B的列空间都是R^2的子空间。有如下定理：
如果 是 实矩阵，那么 的列空间 必定是 的子空间。
对上述矩阵的列空间做一个推广，可以由向量空间 V 的任意子集S 得到一个子空间SS ：
  • 定义S 为 向量空间V的子集 (子集！不一定是一个子空间)。
  • 定义 SS 为 S 中所有向量的线性组合 (一定是一个子空间)
称SS为由S张成的子空间。
列空间是SS的特例：当S是矩阵列向量的子集，那么SS就是列空间。

NullSpace

本节讲述了NullSpace(零空间)的定义，然后讲解了如何求解其次线性方程组。
Def：The Nullspace of A (or called the kernel of A) consists of all solutions of Ax = 0，i.e.
Claim: If A is an m * n matrix，the is a subspace of .
Proof:
  1. if Ax = 0 and Ay = 0, the A(x+y) = 0.
  1. if Ax = 0, c \in F, then A(cx) = cAx = c * 0 = 0.
注：上述证明是在检验它是否对线性运算封闭

求解 ：主变量，特解

矩阵A 的零空间即满足Ax=0 的所有 x 构成的向量空间，本节讲解如何求解 Ax=0.
求解步骤如下：
flowchart TD
    id1[矩阵 A] --高斯消元-->id2[上三角矩阵 U]
    id2[上三角矩阵 U] --1.消去主元上方的值 \n 2.使得主元变为 1  -->id3[行最简型 R]
求解步骤
例：求解 Ax=0 的零空间，其中 .
解：
先用高斯消元得到 上三角矩阵 U :
再化解为 行最简阶梯矩阵 R :
上式 方框标注的：
  • 对应列 称为 主元列 (free column)，其余列称为自由列 (free column)
  • 对应变量称为 主元变量 (pivot variable)，其余变量称为自由变量 （free variable）
矩阵的秩（rank）就是矩阵的主元的个数。本例中矩阵A 和U 和 R 的秩均为2。矩阵中包含主元的列为主元列（pivot column），不包含主元的列称为自由列（free column）。
化解为 行最简阶梯型之后，每个主元变量都只会出现在一行（一个方程）中。

特解 Special solutions

化解为 行最简阶梯型之后，就可以回代求解 Rx = 0。
遍历每个自由变量不为 0 的情况。本例中，包含主元的矩阵第1 列和第3 列为主元列，而不包含主元的第2 列和第4列为自由列。对自由变量（free variable）x2 和x4 我们可以进行赋值。
首先令x2=1，x4=0。则有特解 ;
其次令 x2=0，x4=1，则可得到另一解 。
矩阵A 的零空间就是这些“特解”向量 的线性组合所构成的向量空间。
 
💡
假设矩阵A为m*n矩阵，有r个主元（r≤m,r≤n），则矩阵的秩（rank）为r，且矩阵自由列的数目就等于 n-r，即列的数目减去主元列的数目。 此外，这个数值（自由列的个数）等于特解的数目和零空间的维数。
💡
N(A)由这 n- r 个 特解的线性组合组成，即 N(A) = ths subspace spaned bu these specical solutions.
💡
If n > m (more columns than rows), i.e. Ax=0 has more unknows then equations, then r≤ m<n. Hence, n-r>0, there must be nonzero solutions.
主元列和自由列的一个重要区别就是，自由列可以表示为其左侧所有主元列的线性组合，而主元列则不可以。
例如，我们得到一个消元完成后的梯形矩阵U，其包含四个主元列。观察它的第五列，这是自由列，其左侧有两个主元列，这两个主元列显然线性无关，第五列也显然可以写成前两个主元列的线性组合。
这里求的是Ux=0 的解，如果令对应第二列，第四列，第六列这三个自由列以及第五列右侧的两个主元列的x 分量都为0，而对应第五列的自由变量x5=1，则方程变为：
相当于求第五列如何用前两个主元列进行线性组合，所得解xT=[x1,0,x3,0,1,0,0,0]。即为原方程的特解之一。对所有的自由列都进行此操作，就是上文求解过程中对自由变量的赋值过程。
在本例中，四个自由变量分别取1 会得到零空间的四个特解。如果把自由变量都赋值为0 会怎么样？答案是求得的解为0 向量。

从行最简型求直接得到特解

先回到上述例子中
有 矩阵 A：
有化解得到行最简型 R
将特解按列排开，写为矩阵形式，称为 零空间矩阵 N
在矩阵 R 中主元行和主元列的交汇处存在一个单位阵。通过“列交换”，可以将矩阵 R 中的主元列集中在左侧，从而在左上角形成这个单位阵，而将自由列集中在矩阵的右侧。如果矩阵 A 中的某些行是线性相关的，则在矩阵 R 的下半部分就会出现一些完全为0 的行向量。即
对应的，将 N 中的 行也进行交换，得到
可见， 上半部分就是 的右上半部分 取反。
下面进行理论推导：
对行最简型矩阵 进行列交换后（交换了未知变量的顺序），可得到如下矩阵：
其中: 是一个 的方阵。 即自由列消元后组成的部分 为 矩阵。最下方为 的零矩阵。
原方程 变为求解如下方程:
我们将 的特解作为列向量写成一个矩阵 ，即零空间矩阵。则其形式为 。这里的 为一个 的矩阵，就是对 个自由变量分别赋值为 所构造出来的，零空间矩阵满足。则从矩阵分块乘法运算可知零空间矩阵上半部分为，即 最终形式为
对于矩阵 而言，求零空间特解就变得非常简单，只需要将消元的到的 部分拼接上单位阵就可以得到所有的通解。注意如果在变换出 左上角的单位阵的过程中采用了列交换，则最后的解要完成逆变换。

求解Ax=b：可解性与结构

求解步骤如下：
  1. 判断方程是否有解
  1. x_p. 求得 Ax=b的特解（particular solution）x_p。令自由变量为0
  1. x_n. 求得Ax=0的特解（specical solution）x_n，或者零空间。
  1. 通解x = x_p + x_n

可解的条件

检验Ax=b 是否可解的方法是对增广矩阵进行行消元。如果矩阵A 的行被完全消去的话，则对应的b 的分量也要得0，或者说，矩阵A的主元数量和增广矩阵的主元数量需要一样。
以方程为例，将增广矩阵逐步化解为上三角矩阵U，如下：
如果Ax=b 有解，则 b3-b1-b2=0。
💡
前几讲讨论过，只有当b 处于矩阵的列空间C(A)之中时，方程才有解。本讲推导出矩阵A 的行向量若经过线性组合成为了零向量，则对应的b 经同样的线性组合后也要等于0。因此看起来我们有了两条关于b 的限制条件，但实际上这两点是等价的。

通解 Complete solution

例：求解方程 。
解：将增广矩阵逐步化解为上三角矩阵，再化解为行最简型，如下：
此时将主变量用自由变量表示，有方程如下：
此时即可得到方程解:
方程通解包括两部分：
  • 第一部分为AX=0的specical solution, 或者矩阵A的零空间，通常用 x_n 来表示
  • 第二部分为 Ax=b的particular solution，通常用 x_p 来表示。
定理：如果Ax=b，那么其通解x = x_p + x_n，其中
  • x_p 为Ax=b的particular solution
  • x_n 为 Ax=0的general solution，或者称之为零空间。
证明：
  • x = x_p + x_n 是Ax=b的通解
      • if x = x_p + x_n, then Ax = Ax_p + Ax_n = b + 0 = b;
  • Ax=b的任何解都可以表示为 x_p + x_n 的形式
      • if x is a solution to Ax=b, then A(x-x_p) = Ax - Ax_p = b - b = 0;
💡
为求得Ax=b 的所有解，我们首先检验方程是否可解，然后找到一个特解。将特解和矩阵零空间的向量相加即为方程的通解。
特解 A particular solution
求Ax=b 特解的方法是将自由变量均赋值为0，求解其主变量。
即将增广矩阵化解为行最简型之后，令自由变量为0，此时每一行只剩主变量了，然后对应右边b的值即可为特解。
上例中，得到了行最简型矩阵 ，此时，令自由变量x_2,x_4均等于0，则有x_1 = 1, x_3 = 6，即如下对应关系 :
因此，特解为
与零空间进行线性组合 Combined with nullspace
上一讲我们得到了矩阵的零空间N(A)就是Ax=0特解的线性组合。即x_n为 方程Ax=0 specical solution 的线性组合。
在本例中，Ax=0 的特解为 和 ，因此，零空间为 。
综上所述，方程Ax=b的解为
💡
前面求取Ax=b 的特解过程中，我们令所有自由变量赋值为0。如果不赋值为0，则等于带着自由列进行计算，但自由列其实也就是主元列的线性组合，这样求的特解\hat{x_p}只不过是x_p 与零空间特解的一个加和。

Case1：A为方阵且 r=m=n

 

Case2: r=n

 

Case3: r=m

 

总结

 

Independent basis and Dimension

Independent

Def: if and only happen when , then vectors are linear independent; otherwise, they are linear dependent.
即 ，只有 零解，称 线性独立。
例：，假设, 该方程只有零解，因此线性独立
注：向量中某部分独立，则整体独立，本例中，向量最后两元素独立，因此整体独立
从另外一种观点看有：
  • 线性相关 某个向量可以用其他向量线性表示
  • 线性无关 没有一个向量可以表示为其他向量的线性组合
In general, the columns of A are linear independent exactly when rank(A) = n (i.e. full column rank).
其行最简型
There are pivot no free column ,hence nullspace .
Claim: Any set of n vectors in R^m must be linear dependent if n > m;
proof: put these vectors as columns of , , is m * n matrix. rank(A) ≤ m < n, so rank(A) < n. so .
There are free variable, and hence specical solutions.Therefore contains vectors other then 0.
Def: A set of vectors spans a vector space if their linear combination fill the space.
Remark: A columns of a matris span its column space.
例：
  1. span .
  1. does span ?
      2. Yes.
  1. does span ?
      2. No. 并非一直有解。事实上，这两个向量only span a line in R^2
💡
若 A 的列向量线性无关，则A 所有的列均为主元列，没有自由列，矩阵的秩为n。 若 A 的列向量线性相关，则矩阵的秩小于n，并且存在自由列。
Def: The row space of an m*n matrix is the subspace of , spaned by the rows of .
The row space of is , its the columns space of .
没有引入新的记号，只是为了简单起见。

Basis

Def: 向量空间的基是具有如下两个性质的一组向量 ：
  1. 线性无关
  1. 张成该向量空间
注：
  • 第一条性质保证了基底中向量的个数尽可能的少，因为如果不是线性独立，那么必定有某个向量可以用其他向量线性表示。
  • 第二条保证了该向量空间中的任意向量都可以表示为其基底的线性组合。
例：
  1. ，a basis for R^3.
  1. ,a basis for , the standard basis.
  1. dose is a basis for R^3 ?
      2. Ans (先证明独立，再证明能否span R^3):
    1. Let A = , ,rank(A) = 3, no free variable. , so columns are independent.
    2. is always solveable for every b. so C(A) = R^3.
      3. So Yes, it is a basis for R^3.
Claim: Any n independent vectors in R^n are a basis for R^n.
Assume v_1, v_2,…, v_n are independent. A = [v_1, v_2, …, v_3]. rank(A) = n, A is invertible. so Ax=b is always solveable for every b. so C(A) = R^n.
So v_1, v_2,…, v_n are a basis for R^n.
Claim: 若以R^n 空间中的 n 个向量为列向量构成的矩阵A为可逆矩阵，则这些向量可以构成 R^n 空间中的一组基。
注： 已经保证了向量数目最少了，只需要保证 能否 span 成 即可。如果矩阵可逆，那么 对任意 均有解 ，即表示可以span 为 .
Remark： has infintely many different basis.
定理： 对于任意向量，如果给定一组基，那么有且只有一种表示方式。
证明思路：假设有两种表示方式，再证明这两种相同。
证明：令v_1, v_2, … v_n 为一组基，假设有一向量 v = a_1v_1 = a_2v_2 +…+a_3v_3, 且该向量 v = b_1v_1 + b_2v_2 +…+b_nv_n.
v-v = (a_1-b_1)v_1 + (a_2-b_2)v_2 + … + (a_n-b_n)v_n。
因为v_1, v_2,…v_n为一组基，所以 a_i - b_i = 0，i=1,2,…,n。
注：有了上述定理之后，后续描述一个向量（广义的向量，可以为多项式、矩阵等。具体见向量凯南定义）就只需要一组基的系数即可。
定理：从矩阵列向量中选取线性无关的向量，它们可以构成该矩阵列空间的一组基。
因此求矩阵列空间的基本质上就是在求线性无关的列向量，本质上就是在求主元列。
例：找到矩阵A列空间的基，。
把A化为行最简型，有 。
注：R的列空间和矩阵A的列空间并不一样！因为经过初等变换后，可能进行了行的交换。但是行空间还是一样的
有主元列 1， 3；自由列 2，4，5
因为R的自由列可以表示为R的主元列的线性组合，这就保证了R的列空间中的任意向量均可以由主元列线性表示，此外，由于主元列线性无关。所以R的主元列为R列空间的基底。
找到R的主元列，其在A中的对应列即为A的主元列，因此A的主元列即为A列空间的基底。

Dimension

定理：如果 和 都是某个向量空间的基底，则 。
证明思路：假设，矛盾；同理假设，矛盾。
证明：
假设，我们有
因为 为基底，则 , 且有：
由于之前假设 ，所以上方程必然存在非零解，又因为 线性独立，因此 ，只有零解，与此矛盾。
同理假设 ，我们交换两组基底然后重复上述同样的步骤，也回得出矛盾的结论
因此 we
维度定义：向量空间的维度（dimension）是指其基底中向量的个数。
例：
  1. dim(R^2) = 2
  1. dim(R^n) = n
  1. Q: , 求其列空间的维度。
      2. Ans: 将A化简为行最简型 ， dim() = dim() = 2 (主元的数量)
      注：
  1. = 所有2*2实矩阵 的向量空间，的一组基可以为：，dim(M) = 4;
      2. 推广：
    1. n*n实矩阵的子空间的维度为
    2. n*n 上三角矩阵的子空间的维度为
    3. n*n对称矩阵的子空间的维度为
    4. n*n 的对角矩阵的子空间的维度为
    5. n*n非对称矩阵的子空间的维度为？ No, n*n非对称矩阵 无法组成子空间，对加法运算部分不封闭

4个子空间的维度

左零空间定义：左零空间 .
 
现假设有 矩阵 ，其有如下四个子空间：
  1. 行空间(row space) ，是 的行向量的线性组合在 空间中构成的子空间，也就是 矩阵 的列空间。为 的子空间
  1. 列空间(column spance) ，是 的列向量的线性组合在 空间中构成的子空间。为 的子空间
  1. 零空间(nullspace) ，是 的所有解 在 空间中构成的子空间。为 的子空间
  1. 左零空间(left uullspace) ，矩阵 的零空间为矩阵 的左零空间，为 的子空间
notion imagenotion image
 
下面以该矩阵为例分别求解四个子空间的维度，并推广到一般m*n矩阵。
假设，通过初等行变换可以变化为行最简型。变换过程如下：
其中E为初等变换矩阵。

行空间

矩阵R的行空间 C(R^T)的基为 。（即主元行）
矩阵R的行空间 的维度 。（ 为主元数量）
对变换过程有 ， 因为E矩阵可逆，因此 ，即有如下关系：
可得：
  1. 矩阵 的每一行都是矩阵R的所有行的线性组合；（谨记矩阵左乘为对右边的矩阵进行行变换）
  1. 矩阵 的每一行都是矩阵A的所有行的线性组合。
所以 的行空间 的行空间 ，因此原矩阵 与行最简型矩阵 的行空间的维度相同，即有:

列空间

矩阵R的列空间C(R) 为 ，即主元列。（因为R中所有列都可以通过主元列的线性组合来表示，且主元列线性独立）。因此有：
矩阵的列空间 为： 。（主元列在中对应的列）因此有

零空间

因为Ax=0的解与Rx=0的解相同，即，因此A的零空间与R的零空间相同，维度也自然相同。
矩阵R(或者A)的零空间的基底为：，specical solution的数量为自由变量的数量。因此有：

左零空间

由 ，可得如下：
所以 左零空间的基 为 ， 且
 
现对上述进行推广到一般矩阵：
， 则有
因为 线性独立，所以 。因此 左零空间的基底为：
维度：
 
上述计算了 行最简型矩阵R的左零空间， 的左零空间与 的左零空间不同，接下来计算 的左零空间。
对于 的左零空间 ，因为 为 矩阵。所以从计算的零空间的角度出发，有：
回忆 ，且可逆，如下：
观察最后一行，有 :
因此 的解为 ，因为 ，因此 就是 的左零空间的基底。
对上述推广为一般矩阵有：
因为 可逆，因此 线性独立，又因为 ，所以 的基底。

总结

对于m*n矩阵A，其行最简型矩阵为R。有：
向量空间
dim
Note1
Note2
为 的子空间
为 的子空间
为 的子空间
为 的子空间

总结

可以发现，不管是求零空间还是列空间还是别的，到目前为止，只有一招：高斯消元
最后，引用网上某GS线性代数笔记中所述：
当最初告诉我说，矩阵的列秩等于主元数，并且主元列构成了列空间的一组基时，其实我是拒绝的。主元这个东西不是行变换消元得来的么，消元过程列空间不是已经改变了么，为什么所得出U 的主元数和主元列的位置还能够反映出矩阵A 列空间的状态呢？
这里需要说明的是两点，其一是关于秩的定义有很多在数学上等价但是描述差异很大的说法，在这里我们把“秩”理解为行（列）向量中最大的线性无关向量组的向量数即可，在矩阵A 行变换消元成梯形阵后，很容易看到行空间内极大无关组之一就是主元所在的那前r 行，这r 个行向量可以张成行空间，因此行空间的维数与主元数相等都是r，并且前r 行构成了行空间的一组基。
但是为什么列空间的维数也是r，并且主元列可以构成列空间的一组基呢？这就是要说明的第二点，初等行变换不会改变列向量的线性相关性。为了叙述方便起见，我们假定矩阵A 列向量的极大无关组就是A 前r’列的向量（若否可以通过列交换而达成，列交换不会改变线性关系）。则矩阵A 经过行消元得到梯形矩阵U 的过程，可以用左乘可逆矩阵E 来实现，即EA=U。对等式左侧的矩阵乘法采用列操作的形式进行理解，E[a1,a2,……an]=U，其中ai 为矩阵A 的第i 列。则U 的前r’列分别为Ea1……Ear’。第一步，证明之前线性无关的列向量，行变换之后还无关：反设 这些列向量线形相关，即存在非零c1，c2……cr’使方程c1Ea1+c2Ea2……+cr’Ear’=0，等式等价于E(c1a1+……+ cr’ar’)=0，等式两端同时乘以E -1，则有c1a1+c2a2……+cr’ar’=0，但已知前r’列的向量是线性无关的，所以c=0，矛盾，因此经过左乘可逆矩阵E，即“行变换”，不会改变线性无关的状态。第二步证明类似，就是证明之前线性相关的还相关，没有生成新的线性无关项，此处略去。综上可知，经过行变换列向量极大无关组的向量数仍为r’，即U 的列空间维度为r’。而从U 的矩阵形态可知，它的r 个主元列线性无关，其列空间的维度为r，因此有r’=r，并且主元列经过逆变换回去得到A 的主元列也不会改变线性无关的关系，因此A 的主元列就是A列空间的基。
我们大致说明了一件事情，就是矩阵的行秩等于其列秩。如果将矩阵A 消元得到rref，PA=R，其中，对R 再进行列变换，可得。
最后凹出的这个造型被称为矩阵A 的相抵标准型，它和A 具有相同的秩，具有同构的行空间和列空间。你可以视这个标准型为“初代”，在对它进行了可逆的行变换或者列变换之后得到了一系列矩阵，其中就包括老A，这个初代的行列空间维数同为r，所以它“繁衍”出来的一系列矩阵的行列空间维数就同为r，所有的矩阵都有它的相抵标准型，所有的矩阵行秩都等于列秩。所以之前我们说过m 和n 给出了矩阵的尺寸，但是r 给出了矩阵的“大小”，它告诉了你矩阵行向量和列向量中真正“管用的”有几个，它告诉了你方程组里管用的方程有几个，解集里面不能随便取的变量是几个，能随便赋值的又是哪几个。
再扯几句淡，如果去网上搜索“矩阵的行秩等于列秩究竟意味着什么”，那么你会发现很多看上去完完全全不同的说法，甚至完全不像是在讨论一个问题。之所以有这种感受，其中一个原因是对于秩的定义出发点不同，比如从行列式开始讲起的线代是用行列式来定义“秩”的；而另一个原因是，大家是在线代的不同层面在讨论这件事情。总体而言，GS 所讲的这套线代，是偏重于应用数学这个方向，希望通过深入理解矩阵运算，在工程应用的方面能走得更远，后面他引入马尔科夫链、傅里叶、微分方程的内容都是朝着这个方向努力，还有他开设的“计算科学与工程” 的课程也是秉持这个理念；与之不同，还有一种讲解线性代数的思路是强调线性算子的核心作用，实际上它是在一个更加抽象的层面来进行讨论和推演，Sheldon Axler 的《Linear algebra done right》（中译本：线性代数应该这样学）就是以这个出发点来写作的书，引领我们走向线代更深入的部分，方便与其他数学分支建立联系。 其实数学的学习过程中，我们一直在做着“抽象”这件工作，我们从10 个苹果、2 头牛这种实际事物中，抽象出数字的概念放下了实物的概念，随后我们抽象出未知数x，y 而放下了具体数字的概念，再后来到函数连x，y 的系数都已经被字母替代，到了微积分直接讨论函数之间的联系已经可以暂时放下函数的解析式，再到泛函……每前进一步我们都用一个更加抽象的概念替代一族具象的概念，使得一切操作变得更加简洁（但不一定就好懂），而结果更富普遍意义，但是对于理解能力就有更高的要求。 把话说回来，GS 讲的线性代数更low 么（有人说GS 的所讲的不是线性代数的核心而是matlab 的核心-_-!）？显然不是的，他将线代的触角已经延伸出去很广的范围，在应用的领域做了非常细致有效的工作，开启了科学家和工程师对线代的正确理解方式。打个比方，就好像外门与内功，GS 的线代有如老顽童评价的“降龙十八掌”——已经是外门功夫的顶尖了，郭靖一招“亢龙有悔”基本上S 级以下的出场人物分分钟打跑。反观张无忌身负九阳神通，被灭绝在昆仑山景区当众虐菜。都开着主角光环怎么差距就这么大呢！以我工科学渣的身份，估计内功真是了解一下 就好了，把外功练到极致可能是更好的选择。