二分搜索

1. 寻找一个数采用左右均闭区间采用左闭右开区间2. 寻找左侧边界左闭右开左右均闭3. 寻找右侧边界左闭右开左右均闭总结

1. 寻找一个数

采用左右均闭区间

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
    }
    return -1;
}
左右均闭区间
搜索区间两端均为闭区间，所以while循环为 while left ≤ right
while(left <= right)的终止条件是left == right + 1，写成区间的形式就是[right + 1, right]，或者带个具体的数字进去[3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

采用左闭右开区间

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length  // 注意 区间为[left, right)

    while(left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid ; // 注意
    }
    return -1;
}搜索区间两端均为闭区间，所以while循环为 while left ≤ right

while(left <= right)的终止条件是left == right + 1，写成区间的形式就是[right + 1, right]，或者带个具体的数字进去[3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。
左闭右开区间
搜索区间为左闭右开，所以while循环为 while left < right
while(left < right)的终止条件是left == right ，写成区间的形式就是[right , right]，因为right始终不在搜索区间内，所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

2. 寻找左侧边界

左闭右开

int left_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0;
    int right = nums.length; // 注意

    while (left < right) { // 注意
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            right = mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid; // 注意
        }
    }
    if (left == nums.length) return -1;
		// 类似之前算法的处理方式
		return nums[left] == target ? left : -1;
}
💡
和之前最大的区别在于，当nums[mid]=target时，不是直接返回mid，而是缩小搜索区间，因为要找左边界，所以应该是right = mid
1、为什么 while 中是<而不是<=?
因为right = nums.length而不是nums.length - 1。因此每次循环的「搜索区间」是[left, right)左闭右开。while(left < right)终止的条件是left == right，此时搜索区间[left, left)为空，所以可以正确终止。
2、最后为什么返回是这样呢？
先理解一下left代表的含义：
notion imagenotion image
对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums中小于 2 的元素有 1 个。
比如对于有序数组nums = [2,3,5,7]target = 1，算法会返回 0，含义是：nums中小于 1 的元素有 0 个。
再比如说nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 4，含义是：nums中小于 8 的元素有 4 个。
综上可以看出，函数的返回值（即left变量的值）取值区间是闭区间[0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：
所以当left== nums.leght时，不是nums里面所有元素均小于target,所以此时返回-1
最后再判断nums[left] == target的情况。

左右均闭

int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    // 搜索区间为 [left, right]
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            // 搜索区间变为 [mid+1, right]
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            // 搜索区间变为 [left, mid-1]
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 收缩右侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 检查出界情况
    if (left >= nums.length)
        return -1;
    return nums[left] == target? left: -1;
}
1, 为什么最后要检查出界情况
由于 while 的退出条件是left == right + 1，所以当target比nums中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界：
notion imagenotion image

3. 寻找右侧边界

左闭右开

int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;

    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    if (left == 0) 
				return -1;
		return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
}

左右均闭

int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 这里改成收缩左侧边界即可
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
    if (right < 0 )
        return -1;
    return nums[right] == target? right :-1;
}
当target比所有元素都小时，right会被减到 -1，所以需要在最后防止越界：
notion imagenotion image

总结

第一个，最基本的二分查找算法：
因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1

因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回
第二个，寻找左侧边界的二分查找：
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界
第三个，寻找右侧边界的二分查找：
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界

又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一
对于寻找左右边界的二分搜索，常见的手法是使用左闭右开的「搜索区间」，我们还根据逻辑将「搜索区间」全都统一成了两端都闭，便于记忆，只要修改两处即可变化出三种写法：
intbinary_search(int[] nums,int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while(left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        }elseif (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        }elseif(nums[mid] == target) {
// 直接返回
return mid;
        }
    }
// 直接返回
return -1;
}

intleft_bound(int[] nums,int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        }elseif (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        }elseif (nums[mid] == target) {
// 别返回，锁定左侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
// 最后要检查 left 越界的情况
if (left >= nums.length || nums[left] != target)
return -1;
return left;
}


intright_bound(int[] nums,int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        }elseif (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        }elseif (nums[mid] == target) {
// 别返回，锁定右侧边界
            left = mid + 1;
        }
    }
// 最后要检查 right 越界的情况
if (right < 0 || nums[right] != target)
return -1;
return right;
}