375. 猜数字大小 II

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动态规划
URL
https://leetcode-cn.com/problems/guess-number-higher-or-lower-ii/
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我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：
  1. 我从 1 到 n 之间选择一个数字。
  1. 你来猜我选了哪个数字。
  1. 如果你猜到正确的数字，就会 赢得游戏 。
  1. 如果你猜错了，那么我会告诉你，我选的数字比你的 更大或者更小 ，并且你需要继续猜数。
  1. 每当你猜了数字 x 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 x 的现金。如果你花光了钱，就会 输掉游戏 。
给你一个特定的数字 n ，返回能够 确保你获胜 的最小现金数，不管我选择那个数字 。
示例 1：
notion imagenotion image
输入：n = 10
输出：16
解释：制胜策略如下：
- 数字范围是 [1,10] 。你先猜测数字为 7 。
    - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $0 。否则，你需要支付 $7 。
    - 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [8,10] 。你可以猜测数字为 9 。
        - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 。否则，你需要支付 $9 。
        - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 10 。你猜测数字为 10 并赢得游戏，总费用为 $7 + $9 = $16 。
        - 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 8 。你猜测数字为 8 并赢得游戏，总费用为 $7 + $9 = $16 。
    - 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,6] 。你可以猜测数字为 3 。
        - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 。否则，你需要支付 $3 。
        - 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [4,6] 。你可以猜测数字为 5 。
            - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 + $3 = $10 。否则，你需要支付 $5 。
            - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 6 。你猜测数字为 6 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $5 = $15 。
            - 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 4 。你猜测数字为 4 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $5 = $15 。
        - 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,2] 。你可以猜测数字为 1 。
            - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 + $3 = $10 。否则，你需要支付 $1 。
            - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $1 = $11 。
在最糟糕的情况下，你需要支付 $16 。因此，你只需要 $16 就可以确保自己赢得游戏。
示例 2：
输入：n = 1
输出：0
解释：只有一个可能的数字，所以你可以直接猜 1 并赢得游戏，无需支付任何费用。
示例 3：
输入：n = 2
输出：1
解释：有两个可能的数字 1 和 2 。
- 你可以先猜 1 。
    - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $0 。否则，你需要支付 $1 。
    - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为 $1 。
最糟糕的情况下，你需要支付 $1 。
提示：
  • 1 <= n <= 200
通过次数34,531提交次数57,498

法1 动态规划 区间型

思路
于经典区间dp一样。
dp[i][j] 表示[i:j+1]之间猜数字的最小花费。 区间是左右均闭合的。
显然dp[i][i] = 0, 因为只有一个数字，肯定一次能猜中，也就不用支付费用了
状态转移如下图
notion imagenotion image
k in [i+1:j-1] dp[i][j] = min(dp[i][j], k+max(dp[i][k-1], dp[k+1][j]))
状态遍历的过程，相当于在填充 如下矩阵的右上角（假设n=3）
notion imagenotion image
初始化的时候，将dp[i][i] 和 dp[i][i+1] 都进行初始化：
  • dp[i][i] : 只有一个数，不用猜，所以dp[i][i] = 0
  • dp[i][i+1]: 包括两个数字 i 和 i+1, 最小代价 是i, 因为非 i 即 i+1, 最多只需要猜 i 就好了。
状态转移( j>i+1)
选中 i+1 到 j-1 中的任意一个数字作为当前的猜测数字，那么需要支付 k 的代价，同时有了两个子问题 dp[i][k-1] 和 dp[k+1][j]
dp[i][j] = min(dp[i][j], k+max(dp[i][k-1], dp[k+1][j])), k=i+1, i+2, ..., j-1
题解
class Solution:
    def getMoneyAmount(self, n: int) -> int:
        # dp[i][j] 表示 在 [i:j+1] 范围内猜数字，最小现金数目
        dp = [[float("inf")] * (n+1) for _ in range(n+1)]
        
        # 初始化
        # dp[i][i] 不用猜，所以最小现金为 0，dp[i][i+1] 最小现金为 i 
        for i in range(0, len(dp)):
            dp[i][i] = 0
            if i < len(dp)-1:
                dp[i][i+1] = i

        # 状态转移
        for i in range(len(dp)-1, 0, -1):
            for j in range(i+2, len(dp), 1):
								# 猜测 k，需要付 代价 k 
                for k in range(i+1, j):
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[i][k-1], dp[k+1][j]) + k)

        # print(dp)
        return dp[1][n]